关于 GF(2) × GF(2) × GF(2) 上射影直线的精细结构

本文简明评述了定义在直积环 $R_{\triangle} \equiv$ GF(2)$\otimes$GF(2)\otimes$GF(2) 上的射影直线的性质。该环的显著之处在于除单位元外,其余七个元素均为零因子,其中非平凡零因子构成两个不同的三元集合:初等('瘦')零因子与复合('胖')零因子。由于这一事实,所讨论的直线被赋予非常复杂的结构。它包含二十七个点,每点有十八个邻点,两个疏远点的邻域共有十二个点,三个两两疏远点的邻域有六个公共点——即坐标为两个'胖'零因子的点。在代数上,直线上的点可分为三组:a) 由普通二阶射影直线的三个特殊点组成的组('核');b) 由坐标同时含单位元和零因子的十二个点组成的组('内壳');c) 由坐标两项均为零因子的十二个点组成的组('外壳')。后两组的點可进一步各分为两个六点子组;前者两子集间完全对称,后者两子组地位不同,反映了两类零因子的存在。两壳的结构、其互联方式及其与核的联系均通过邻点/疏远关系得以充分揭示与说明。文中亦提及该有限环几何的可能应用。