射影群框架的傅里叶变换

许多令人关注的紧框架通过其Gram矩阵（在酉等价意义下确定该框架）构造。给定这样的Gram矩阵，可以判定该紧框架是否为射影群框架，即是否为某个群$G$（可能不唯一）的射影轨道。另一方面，射影群框架可由$G$的不可约射影表示完全描述。此处我们考虑其逆问题：取群$G$的射影群框架的Gram矩阵，识别其2-上闭链并将该框架显式构造为向量$v$（按不可约表示分解）的射影群轨道。关键思想在于认识到该Gram矩阵是由向量$f\in\mathbb{C}^G$给出的群矩阵，并对$f$作傅里叶变换以得到$v$的分量作为正交投影。这需要发展射影表示的群矩阵与傅里叶变换理论。我们特别感兴趣的是给出（射影）群矩阵的块对角化。这导致群矩阵的唯一傅里叶分解，以及进一步细分为低秩群矩阵的精细分解。