与某些下三角矩阵环上射影线相联系的仿射平面与射影平面

设 $T_n(q)$ 为阶 $n \geq 2$、元素取自 $q \geq 2$ 阶有限域 $F(q)$ 的下三角矩阵环,并令 ${^2T_n(q)}$ 表示其自由左模。对 $n=2,3$,我们证明 $T_n(q)$ 上的射影线可导出一组 $(q+1)^{(n-1)}q^{\frac{3(n-1)(n-2)}{2}}$ 个 $q$ 阶仿射平面。此类仿射平面的点为 ${^2T_n(q)}$ 中不被任何非单模自由循环子模所含的非自由循环子模,其线为该射影线上的点。进一步,我们说明每个仿射平面均可扩充为 $q$ 阶射影平面,其“无穷远线”由 ${^2T_n(q)}$ 中由非单模对生成的那些自由循环子模表示。我们的方法可直接调整以处理任意 $n$ 的情形。