基于“Galois”双数的射影平面与互补性几何原理

本文研究一类建立在 Galois 域上的双数环 $R_{\otimes}(q) \equiv GF(q) \otimes GF(q) \cong GF(q)[x]/(x(x-1))$ 之上的特殊射影环平面。该平面具有 $(q^2 + q + 1)^2$ 个点/直线，且每条直线/点关联 $(q + 1)^2$ 个点/直线。由于 $R_{\otimes}(q)$ 具有两个极大理想，邻点关系不是等价关系，即两个相离点各自的邻点集合有交叠。给定平面的一个点，有 $2q(q+1)$ 个邻点。这些邻点在模两个理想之一的约化下形成两个不相交且等势的族。第一族的点与该给定点（的像）合并，而第二族的点以一一对应的方式映射到相伴的、阶为 q 的通常（Galois）射影平面的剩余 $q(q + 1)$ 个点。当从一个理想切换到另一个理想时，这两族互换角色，这可被视为互补性原理的一种显著的有限代数几何体现/表示。本文简要提及这一发现在（量子）物理、物理化学与神经生理学中的可能应用领域。