关于非线性波动方程的外部稳定性

我们考虑一类非常一般的非线性波动方程，其容许平凡解且不一定满足任何形式的光滑条件。对于紧支撑小数据，只能得到半整体结果，即解在依赖于柯西数据大小的有限时间跨度内适定。对于该类中的某些方程，解在任意大小的紧支撑数据下于有限时间内爆破。对于在 ${\mathbb R}^3\setminus B_R$ 上给定且具有小加权能量的数据，若非线性上无某种形式的光滑条件，则外部稳定性在整个依赖域中不成立。本文中我们证明，存在常数 $R(\ga_0)\ge 2$，依赖于加权能量范数中固定的权指数 $\ga_0>1$，若数据在 ${\mathbb R}^3\setminus B_R$ 上（其中固定数 $R\ge R(\ga_0)$）的范数足够小，则解在发起于 $\{|x|=R\}$ 的史瓦西锥（包括边界）的整个外部中存在且唯一，且具有小的负质量 $-M_0$。$M_0$ 由初始数据的大小确定。在此外部区域中，通过构造史瓦西锥叶状结构，我们可改进波动方程的线性行为，特别是在横向导数 $\Lb \phi$ 上。此种改进使我们能够无损失地控制违反零条件的非线性，从而证明解收敛于平凡解。作为应用，我们给出爱因斯坦（有质量与无质量）标量场的外部稳定性结果。我们证明解收敛于小的静态解，在具有正质量的史瓦西锥整个外部中稳定，从而可与内部结果拼接。