幻方幂的存在性

对于任意 $d \geq 2$，我们证明存在整数 $n_0(d)$，使得对于所有 $n \geq n_0(d)$，都存在 $n \times n$ 的 $d$ 次幂幻方。特别是，我们证明对于所有 $n \geq 4$ 都存在平方幻方，这解决了 V\'{a}rilly-Alvarado 的猜测。所有先前的方法都基于构造方法，$d$ 次幂的 $n \times n$ 幻方的存在性仅已知稀疏的 $n$ 值。我们通过硬西洼圆方法证明我们的结果，该方法在此背景下本质上将问题简化为找到足够数量的互不相交的线性无关列子系数矩阵的子集。我们给出该数量的最优（常数级）下界。