基于扩展 Langford 序列的含所有可能阶子正方形的幻方

阶为 $n$ 且含所有可能阶子正方形（ASMS$(n)$）的幻方，是指包含每个阶 $k\in\{3, 4, \cdots, n-2\}$ 的一般幻方的幻方。自 1994 年提出关于 ASMS 存在性的猜想以来，备受关注，但除少数零星例子外所知甚少。缺陷为 $d$、长度为 $m$ 的 $k$-扩展 Langford 序列等价于将 $\{1,2,\cdots,2m+1\}\backslash\{k\}$ 划分为差集 $\{d,\cdots,d+m-1\}$。本文建立了一种基于扩展 Langford 序列的 ASMS 构造方法。由此表明，当 $n\equiv\pm3\pmod{18}$ 时存在 ASMS$(n)$，这给出了对 Abe 关于 ASMS 猜想的部分回答。