存在 $K$-多重幻方与元素互异的 $k$ 次幂幻方

我们证明了当 $N>2 K(K+1)$ 时，由互异整数构成的 $N$ 阶 $K$-多重幻方的存在性。这改进了我们此前仅要求 $N+1$ 个互异整数的结果。此外，我们提出了一种直接方法，通过该方法，我们可以利用对幻方系统的分析来证明当 $$N> \begin{cases}2^{k+1} & \text { if } 2 \leqslant k \leqslant 4 \\ 2\lceil k(\log k+4.20032)\rceil & \text { if } k \geqslant 5\end{cases}$$ 时，由互异的 $k$ 次幂构成的 $N \times N$ 幻方的存在性，从而改进了 Rome 和 Yamagishi 的最新结果。