基于半群性质的 Saxl 猜想的四次幂情形

张量平方猜想指出，对于 $n \geq 10$，存在对称群 $S_n$ 的一个不可约表示 $V$，使得 $V \otimes V$ 包含 $S_n$ 的所有不可约表示。我们的主要结果是，对于足够大的 $n$，存在一个不可约表示 $V$，使得 $V^{\otimes 4}$ 包含所有不可约表示。我们还证明了，在两种自然概率分布下，某些不可约表示的张量平方包含了 $(1-o(1))$ 比例的不可约表示。我们的主要工具是半群性质，它允许我们将划分分解为更小的划分。