球面 $m$-刚性配置的存在性与非存在性

本文考察了单位球面 $S^{d-1}$ 上 $m$-刚性配置的存在性，这些配置是位于 $m$ 个平行超平面上的球面 $(2m-1)$-设计。我们建立了两个非存在性结果：（1）对于每个固定整数 $m > 5$，在 $d$ 足够大时，$S^{d-1}$ 中不存在 $m$-刚性配置；（2）对于每个固定整数 $d > 10$，在 $m$ 足够大时，$S^{d-1}$ 中不存在 $m$-刚性配置。此外，我们对 $m=2,3,4,5$ 的维度提供了完整的分类。我们还确定了在小维数 ($3 \leq d \leq 120$) 或小 $m$ ($6 \leq m \leq 10$) 下 $m$-刚性配置的存在性（或非存在性）。最后，我们推测在 $d \geq 3$ 且 $m \geq 6$ 时，$S^{d-1}$ 中不存在 $m$-刚性配置。