关于临界 NLW 的能量均分

我们研究以下聚焦和散焦临界 $NLW$ 全局解的一些定性性质：\begin{equation*} \Box u+ \lambda u|u|^{2^*-2}=0, \hbox{} \lambda\in {\mathbf R} \end{equation*} $$\hspace{2cm} u(0)=f\in \dot H^1({\mathbf R}^n), \partial_t u(0)=g\in L^2({\mathbf R}^n)$$ 在 ${\mathbf R}\times {\mathbf R}^n$ 上，其中 $n\geq 3$，且 $2^*\equiv \frac{2n}{n-2}$。我们将考虑散焦 $NLW$ 的全局解，其存在性和散射性质已在 \cite{shst}、\cite{sb} 和 \cite{bg} 中证明，且对初始数据 $(f,g)\in \dot H^1({\mathbf R}^n) \times L^2({\mathbf R}^n)$ 无任何限制。同时也考虑 \cite{pecher} 中针对小初始数据构造的聚焦 $NLW$ 解，以及 \cite{mk} 中获得的解，后者给出了初始数据小性的尖锐条件。我们证明解 $u(t, x)$ 满足一组恒等式，事实证明这是经典 Morawetz 估计（见 \cite{mor1}）的精确版本。作为副产品，我们推导出属于自然函数空间的临界 $NLW$ 的任何全局解均满足：$$\lim_{R\to \infty}\frac 1R \int_{\mathbf R} \int_{|x|<R} |\nabla_{x} u(t,x)|^2 \hbox{} dxdt$$ $$=\lim_{R\to \infty} \frac 1{2R} \int_{\mathbf R} \int_{|x|<R} (|\nabla_{t,x} u(t,x)|^2 + \frac{2 \lambda}{2^*} |u(t,x)|^{2^*}) \hbox{} dxdt$$ $$=\int_{{\mathbf R}^n} (|\nabla_{t, x} u(0, x)|^2+ \frac{2 \lambda}{2^*} |u(0, x)|^{2^*}) \hbox{} dx.$$