非线性薛定谔方程中共振模式间的能量交换

我们考虑非线性薛定谔方程 $$i\psi_t= -\psi_{xx}\pm 2\cos 2x \ |\psi|^2\psi,\quad x\in S^1,\ t\in \R$$ 并证明该方程在初始小数据 $\psi_0=\e (\cos x+\sin x)$ 下的解将周期性地在傅里叶模式 $e^{ix}$ 和 $e^{-ix}$ 之间交换能量。这种拍频效应被描述到 $\e^{-9/4}$ 量级的时间，而频率为 $\e^2$ 量级。我们还讨论了一些推广。