关于演化 Ole\v{\i}nik--Radkevi\v{c} PDE 在柱形域中 Dirichlet 问题的 Tikhonov 型定理

我们考虑线性二阶偏微分算子 $$\mathscr{L} = \mathscr{L}_0 - \partial_t : = \sum_{i,j =1}^N \partial_{x_i}(a_{i,j} \partial_{x_j} ) - \sum_{j=i}^N b_j \partial_{x_j} - \partial _t,$$并假设 $\mathscr{L}_0$ 具有非负特征形式且满足 Ole\v{\i}nik--Radkevi\v{c} 秩次椭圆性条件。这些假设允许在 $\mathbb R^{N+1}$ 和 $\mathbb R^{N}$ 的有界开子集上分别构造 $\mathscr{L}$ 和 $\mathscr{L}_0$ 的 Dirichlet 问题的 Perron-Wiener 解。我们的主要结果如下 Tikhonov 型定理：令 $\mathcal{O}:= \Omega \times ]0, T[$ 为 $\mathbb R^{N+1}$ 的有界柱形域，$\Omega \subset \mathbb R^{N}$，$x_0 \in \partial \Omega$ 且 $0 < t_0 < T$。则 $z_0 = (x_0, t_0) \in \partial \mathcal{O}$ 对 $\mathcal{O}$ 是 $\mathscr{L}$-正则的，当且仅当 $x_0$ 对 $\Omega$ 是 $\mathscr{L}_0$-正则的。作为一个应用，我们导出了退化 Ornstein--Uhlenbeck 算子的边界正则性判据。