关于负曲率三维流形上的无穷远狄利克雷问题

在本文中，我们证明：在具有有限个扩张端的三维流形中，若每个端都存在一邻域使得曲率被一负常数从上界住，则无穷远狄利克雷问题可解，并因此此类流形拥有丰富的有界非常数调和函数（从而刘维尔定理不成立）。在具有无穷多个扩张端的情况，我们证明若每个端都存在一邻域使得曲率被一负常数从上界住，则对于在无穷远处一致有界的连续边界数据，无穷远狄利克雷问题可解。我们的方法基于一个不需要显式曲率假设的结果，因此可应用于其他情形：我们给出一个端上带符号不定曲率（无论沿该端走多远皆然）的度量的例子，对该端而言无穷远狄利克雷问题是可解的。我们还给出了带极点的曲面情形下的一个相关结果，它推广了米尔诺的一个著名判据。