度量测度空间中最小梯度函数 Dirichlet 问题的非局部性、非线性和解的存在性

我们研究度量空间中度量测度空间内域的最小梯度函数 Dirichlet 问题，该空间配备加倍测度并支持 (1,1)-Poincar\'e 不等式，且域的边界满足正平均曲率条件。在此设定下，Mal\'y、Lahti、Shanmugalingam 和 Speight 已证明对连续边界数据解存在。我们推广这些结果，证明对可由连续函数从上、下方逼近的边界数据解存在。我们还证明，对每一 $f\in L^1(\partial\Omega)$，在 $\Omega$ 中存在最小梯度函数，其迹在 $f$ 的连续点处与 $f$ 一致，从而我们对几乎处处连续的边界数据得到解的存在性。这与 Spradlin 和 Tamasan 的结果形成对比，他们构造了单位圆上的一个 $L^1$-函数，其在 $\mathbb{R}^2$ 单位圆盘内无最小梯度解。通过修改 Spradlin 和 Tamasan 的例子，我们表明单位圆上可解的 $L^1$-函数空间是非线性的，即便单位圆盘满足正平均曲率条件。