关于 $C_7$-临界图的密度

1959年，Grötzsch 著名地证明了每个围长至少为 4 的平面图是 3-可着色的（或等价地，容许到 $C_3$ 的同态）。对此的一个自然推广是如下猜想：对每个正整数 $t$，每个围长至少为 $4t$ 的平面图容许到 $C_{2t+1}$ 的同态。这实际上是 Jaeger 一个著名猜想的平面对偶，该猜想称每个 $4t$-边连通图容许模 $(2t+1)$ 定向。尽管 Jaeger 的原始猜想于 2018 年被 Han 等人证伪，Lovász 等人证明了每个 $6t$-边连通图容许模 $(2t+1)$ 流。后一结果蕴含每个围长至少为 $6t$ 的平面图容许到 $C_{2t+1}$ 的同态。我们在 $t=3$ 的情形改进了这一点，证明了每个围长至少为 $16$ 的平面图容许到 $C_7$ 的同态。我们通过一个关于 $C_7$-临界图密度的更一般结果得到此结论：若 $G$ 是一个 $C_7$-临界图且 $G \not \in \{C_3, C_5\}$，则 $e(G) \geq \tfrac{17v(G)-2}{15}$。