关于结合方案中图的连通性

设 $(X,\mathcal{R})$ 为一个交换结合方案，并设 $\Gamma=(X,R\cup R^\top)$ 为一个连通无向图，其中 $R\in \mathcal{R}$。Godsil（相应地，Brouwer）猜想 $\Gamma$ 的边连通度（相应地，点连通度）等于其度。在本文中，我们证明了删除任意顶点的邻域后至多留下一个非单点连通分支。若两个顶点 $a,b\in X$ 在 $\Gamma$ 中具有相同的邻域：$\Gamma(a)=\Gamma(b)$，则称它们为“孪生点”。我们刻画了多项式结合方案中的孪生点，并表明在没有孪生点的情况下，删除 $\Gamma$ 中任意顶点及其邻居会得到一张连通图。利用此工具及其他工具，我们得到了 $\Gamma$ 连通度的下界，特别是在 $\Gamma$ 直径为2的情形。作为这些结果的应用之一，我们发现对称结合方案中仅有的允许大小为2的分离集的连通关系是那些普通多边形。