关于张量、群与多项式同构问题的复杂性 IV：线性长度归约及其应用

许多关于张量、群、代数与多项式的同构问题近期被证明在多项式时间归约下彼此等价，由此催生了复杂性类 TI（Grochow & Qiao, ITCS '21; SIAM J. Comp., '23）。Grochow 与 Qiao（CCC '21）随后利用张量视角，对一类 $p$-群给出了中等指数时间的搜索与计数到判定归约。一个显著问题是，这些归约通常导致所涉张量长度呈二次增长。当张量表示 $p$-群时，这对应于群阶以 $|G|^{\Theta(\log |G|)}$ 的形式增长，抵消了 Cayley 表模型中的任何渐近收益。本文中，我们提出一种新型张量构件，使得可用线性长度归约替代那些二次长度归约，从而得到如下结论：1. 若图同构（Graph Isomorphism）属于 P，则对 $F_q$ 上 $n$ 元三次型的等价性检验，以及 $F_q$ 上 $n$ 维代数的同构检验，均可在 $q^{O(n)}$ 时间内求解，较二者原有的暴力上界 $q^{O(n^2)}$ 有所改进。2. 结合类 2 且指数为 $p$ 的 $p$-群的 $|G|^{O((\log |G|)^{5/6})}$ 时间同构检验（Sun, STOC '23），我们的归约将该运行时间扩展至类 $c$ 且指数为 $p$ 的 $p$-群（其中 $c<p$），并给出三次型等价与代数同构的 $q^{O(n^{1.8}\cdot \log q)}$ 时间算法。3. 在给定 Cayley 表时，对类 2 且指数为 $p$ 的 $p$-群同构检验的多项式时间搜索与计数到判定归约。这回答了 Arvind 与 Tóran（Bull. EATCS, 2005）针对该群类的问题，其曾被认为是群同构最困难的情形之一。