图同构问题与Erdős-Rényi模型的线性代数类比
数据结构与算法
2017-10-03 v2 群论
摘要
一个经典的困难同构测试问题是，在群阶多项式时间内测试类2且指数为p的p-群同构。已知该问题可归约为在底层向量空间规模多项式时间内，求解有限域上的交错矩阵空间等距问题。我们为后一问题提出一种攻击途径，将其视为图同构问题的线性代数类比。这一观点促使我们探索将图同构技术迁移到这个长期被认为是群同构瓶颈情形的可能性。20世纪70年代，Babai、Erdős和Selkow提出了首个平均情况高效的图同构测试算法（SIAM J Computing, 1980）。受该算法启发，我们在一个关键参数范围内，针对交错矩阵空间的一种随机模型（类似于随机图的Erdős-Rényi模型），设计了一个平均情况高效的交错矩阵空间等距问题算法。为此，我们发展了经典个体化技术的线性代数类比，该技术属于一组对图同构最坏情况时间复杂度进展至关重要的组合技术，但在群同构语境中一直缺失。作为主算法的一个推论，我们建立了Erdős和Rényi经典结果（即大多数图具有平凡自同构群）的一个较弱线性代数类比。最后，我们证明Luks用于图同构的动态规划技术（STOC 1999）可被改造，以在特定参数范围内略微改善交错矩阵空间等距问题的最坏情况时间复杂度。
引用
@article{arxiv.1708.04501,
title = {Linear algebraic analogues of the graph isomorphism problem and the Erd\H{o}s-R\'enyi model},
author = {Yinan Li and Youming Qiao},
journal= {arXiv preprint arXiv:1708.04501},
year = {2017}
}
备注
32 pages, 2 figures. The implication to group enumeration corrected