通过群扩张与上同调研究群同构的算法

阶为 n 的有限群的同构问题 (GpI) 长期以来已知可在 $n^{\log n+O(1)}$ 时间内求解，但直到最近才为几类有趣的群设计了多项式时间算法。受近期进展的启发，我们重新审视了通过群扩张理论解决 GpI 的策略。扩张理论描述了正规子群 N 如何通过 G 与 G/N 相关联，这自然地导致了一种分治策略，将 GpI 分解为两个子问题：一个关于群在其他群上的作用，另一个关于群上同调。当正规子群 N 是阿贝尔群时，这一策略是众所周知的。我们的第一个贡献是将此策略扩展以处理 N 不一定是阿贝尔群的情况。这使我们能够为所有针对特殊群类的近期多项式时间算法提供统一的解释。在这一策略的指导下，为了在 GpI 上取得进一步进展，我们考虑了 Babai 等人 (SODA 2011) 提出的中心根群 (central-radical groups)：即 G 模其中心没有阿贝尔正规子群的群类。该类是 Babai 等人 (ICALP 2012) 考虑的群类（即没有阿贝尔正规子群的群）的自然推广。遵循上述策略，我们在 $n^{O(\log \log n)}$ 时间内解决了中心根群的 GpI 问题，并在多项式时间内解决了几类重要的中心根群子类的 GpI 问题。我们还以 $n^{O(\log\log n)}$ 的时间复杂度解决了其可解正规子群为初等阿贝尔群但不一定是中心子群的群的 GpI 问题。据我们所知，这是首次对同时处理 GpI 两个方面（作用与上同调）的 $n^{o(\log n)}$ 时间算法提供最坏情况保证。