有限可解群表示的算法构造

本论文的主旨是利用合适的生成元系统构造有限可解群的矩阵表示。对于阶为 $N = p_{1}p_{2}\dots p_{n}$ 的有限可解群 $G$(其中 $p_{i}$ 为素数)，总存在次正规列：$\langle {e} \rangle = G_{o} < G_{1} < \dots < G_{n} = G$，使得 $G_{i}/G_{i-1}$ 同构于 $p_{i}$ 阶循环群，$i = 1,2,\dots,n$。与该序列相伴存在一个由 $n$ 个元素 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$(记如此)组成的生成元系统，满足 $G_{i} = \langle x_{1}, x_{2}, \dots, x_{i} \rangle$，$i = 1,2,\dots,n$，称为“长生成元系统”。借助此生成元系统及 $x_{i}$ 在 $G_{i}$ 中的共轭类求和($i = 1,2, \dots, n$)，我们给出在群代数 $\mathbb{C}[G]$ 上构造 $G$ 的不可约矩阵表示的算法。该算法构造需要本原中心幂等元、一组定义良好的本原(未必中心)幂等元以及 $\mathbb{C}[G]$ 的“对角子代数”的知识。基于此生成元系统，我们给出了本原中心幂等元、一组定义良好的本原(未必中心)幂等元以及 $\mathbb{C}[G]$ 的“对角子代数”的方便生成元集的简单表达式。对有限阿贝尔群，我们给出在特征为 $0$ 或与群阶互素的域上构造不等价不可约矩阵表示的算法，以及计算群代数本原中心幂等元的系统方法。此外，利用“长表示”我们给出了有限阿贝尔群有理群代数的本原中心幂等元的简单表达式及其 Wedderburn 分解。