驯服扩张群的多项式时间同构测试

我们给出了新的多项式时间算法，用于测试一类由乘法表给出的群的同构性（GpI）。Cannon & Holt (J. Symb. Comput. 2003) 和 Babai, Codenotti & Qiao (ICALP 2012) 的两项结果意味着 GpI 可归结为以下问题：给定群 G 和 H，它们具有相同类型且同构于 $\mathbb{Z}_p^d$ 的特征子群，并给定同构的陪集 $Iso(G/\mathbb{Z}_p^d, H/\mathbb{Z}_p^d)$，在 poly(|G|) 时间内计算 Iso(G, H)。Babai & Qiao (STACS 2012) 在 $G/\mathbb{Z}_p^d$ 的西罗 p-子群为平凡群时解决了此问题。在本文中，我们在所谓的“驯服”情形下解决了前述问题，即当 $G/\mathbb{Z}_p^d$ 的西罗 p-子群为循环群、二面体群、半二面体群或广义四元数群时。这些情形恰好对应于群代数 $\overline{\mathbb{F}}_p[G/\mathbb{Z}_p^d]$ 为驯服型，正如表示论中著名的驯服-野性二分法所述。我们进而在多项式时间内解决了 GpI 的新情形。我们的结果关键依赖于作者先前提出的分治策略（CCC 2014），该策略将 GpI 拆分为两个问题，一个关于群作用（表示），另一个关于群上同调。基于此策略，我们将置换群和表示算法与新的数学结果相结合，包括驯服情形下群的不可分解表示数量的界，以及其上同调群大小的界。最后，我们注意到当群扩张不是驯服时，前述界不成立。这暗示了一个精确的意义，即表示论中的驯服-野性二分法可能也是 GpI 的（当前）易解与难解实例之间的分界线。