固定维度下同伦群与 Postnikov 系统的多项式时间计算

针对同伦论中的若干计算问题，我们获得了运行时间关于输入规模呈多项式的算法。具体而言，对于每个固定的 $k>1$，存在一个多项式时间算法，对于作为有限单纯复形给出的 1-连通拓扑空间 $X$，或更一般地，作为具有多项式时间同调的单纯集，该算法可计算第 $k$ 个同伦群 $\pi_k(X)$ 以及 $X$ 的 Postnikov 系统的前 $k$ 个阶段。结合早期论文的结果，这在 $Y$ 为 $(k-1)$-连通且 $\dim X < 2k-1$ 的假设下，实现了 $[X,Y]$（即所有连续映射 $X \to Y$ 的同伦类）的多项式时间计算。我们还获得了扩张问题的多项式时间解法，其中输入包括有限单纯复形 $X, Y$（$Y$ 为 $(k-1)$-连通且 $\dim X < 2k$）、子空间 $A\subseteq X$ 以及一个（单纯）映射 $f:A \to Y$，问题是判断 $f$ 是否可扩张至整个 $X$。这些算法基于具有多项式时间同调的单纯集概念，这是对 Sergeraert 及其合作者早期开发的有效同调单纯集概念的增强。我们的多项式时间算法是通过证明具有多项式时间同调的单纯集在各种运算下封闭而获得的，最 notably 包括笛卡尔积、扭曲笛卡尔积和分类空间。另一个关键组件是 Eilenberg--MacLane 空间 $K(\mathbb{Z},1)$ 的多项式时间同调，这在 Krcal、Matousek 和 Sergeraert 最近的另一篇论文中提供。