关于可测集的上同调

若 T 是 Lebesgue 概率空间 (X,A,m) 的一个遍历自同构,则以对称差 + 构成的余边界集合 B = db = T(b)+b 是余循环集合 A 的一个子群。借助描述集合论的工具,Greg Hjorth 于 1995 年证明了第一上同调群 H=A/B 是不可数的。这或许令人惊讶,因为在有限遍历概率空间的情形下,H 仅有 2 个元素。Hjorth 的证明在完备度量空间 (A,d(a,b)=m(a+b)) 中使用了描述集合论,从而得出 B 在 A 中是无处稠密的(meager)这一结论。我们利用 Barry Simon 的一个谱泛型性结果确立了同样的结论。这引出了 Karl Petersen 在 1973 年首次指出的结论:对于 A 中一个泛型元 a,其所诱导的系统 T_a 是弱混合的,这比 Nate Friedman 与 Donald Ornstein 关于所有由遍历自同构 T 导出的诱导系统 T_a 中弱混合系统之稠密性的结果略强。