关于 $\mathrm{SL}_n(\mathbb{Z})$ 的余维二上同调

Borel-Serre 证明了 $\mathrm{SL}_n(\mathbb{Z})$ 是维数为 $n \choose 2$ 的虚对偶群,且 Steinberg 模 $\mathrm{St}_n(\mathbb{Q})$ 是其对偶化模。该模是对应于 $\mathrm{SL}_n(\mathbb{Q})$ 的 Tits 建筑的上维同调群。我们确定了该 Steinberg 模的“关系的关系”。即,我们构造了 $\mathrm{SL}_n(\mathbb{Z})$-模 $\mathrm{St}_n(\mathbb{Q})$ 的长度为二的部分分解。我们利用该部分分解证明了对于 $n \geq 3$,$\mathrm{SL}_n(\mathbb{Z})$ 的余维二有理上同调群 $H^{{n \choose 2} -2}(\mathrm{SL}_n(\mathbb{Z});\mathbb{Q})$ 消失。这解决了 Church-Farb-Putman 猜想的一个情形。我们还给出了 $\mathrm{SL}_n(\mathbb{Z})$ 的某些同余子群的余维一上同调的下界。