$\mathrm{SL}_3(\mathbb{Z})$ 的边界与艾森斯坦上同调

在本文中，我们计算了与算术群 $\mathrm{SL}_3(\mathbb{Z})$ 和 $\mathrm{GL}_3(\mathbb{Z})$ 相关联的若干上同调空间，其系数取自任意最高权表示 $\mathcal{M}_\lambda$，其中 $\lambda$ 表示其最高权。由此，我们获得了这些群带系数 $\mathcal{M}_\lambda$ 的艾森斯坦上同调的详细信息。当 $\mathcal{M}_\lambda$ 非自对偶时，艾森斯坦上同调等于底层算术群带系数 $\mathcal{M}_\lambda$ 的上同调。特别地，对于如此大类表示，我们可以显式描述这两个算术群的上同调。我们通过研究 Borel-Serre 紧化边界的上同调及其带系数 $\mathcal{M}_\lambda$ 的欧拉特征来完成这一工作。最后，我们利用该研究讨论了幽灵类的存在性。