关于扩展双循环半群的闭包

本文研究了半群$\mathscr{C}_{\mathbb{Z}}$，它是双循环半群的一个推广。我们描述了半群$\mathscr{C}_{\mathbb{Z}}$的主要代数性质，并证明了半群$\mathscr{C}_{\mathbb{Z}}$上的每个非平凡同余$\mathfrak{C}$都是群同余，而且商半群$\mathscr{C}_{\mathbb{Z}}/\mathfrak{C}$同构于一个循环群。我们还证明了半群$\mathscr{C}_{\mathbb{Z}}$作为Hausdorff半拓扑半群仅允许离散拓扑。接下来，我们研究了半群$\mathscr{C}_{\mathbb{Z}}$在拓扑半群$T$中的闭包$\operatorname{cl}_T(\mathscr{C}_{\mathbb{Z}})$。我们证明了在拓扑逆半群$T$中，$\mathscr{C}_{\mathbb{Z}}$的非空余集由$T$的单位群$H(1_T)$和一个双边理想$I$组成，当$H(1_T)\neq\varnothing$且$I\neq\varnothing$时。当$T$是局部紧拓扑逆半群且$I\neq\varnothing$时，我们证明了理想$I$拓扑同构于整数的离散加法群，并描述了子半群$\mathscr{C}_{\mathbb{Z}}\cup I$上的拓扑。我们还证明了如果半群$T$的单位群$H(1_T)$非空，则$H(1_T)$要么是单点集，要么拓扑同构于整数的离散加法群。