关于 Dedekind 和的渐近行为

设 $z$ 为实二次无理数。我们比较了属于 $z$ 的{\em 正则}连分数展开的渐近分数 $p_k/q_k$ 的 Dedekind 和 $S(p_k,q_k)$ 的渐近行为，与属于 $z$ 的{\em 负正则}连分数展开的渐近分数 $s_j/t_j$ 的 Dedekind 和 $S(s_j/t_j)$ 的渐近行为。虽然这种行为的三种主要情况密切相关，但对最有趣的情况（即 Dedekind 和保持有界的情况）的更详细研究显示出一些显著差异，因为聚点取决于这些展开各自的周期。我们展示了在哪些情况下 $S(s_j,t_j)$ 的聚点可以与 $S(p_k,q_k)$ 的聚点重合。实现我们目的的一个重要工具是一个判别准则，用于判断 $z$ 的哪些渐近分数 $s_j/t_j$ 也是渐近分数 $p_k/q_k$。