论逆形式的零化理想

设 $K$ 为域。我们将 $K[x^{-1},z^{-1}]$ 视为 $K[x,z]$ 模，并从基本原理出发研究 $K[x^{-1},z^{-1}]$ 中的形式，从而简化并扩展了 Althaler 和 D"ur 关于 $K$ 上有限序列的工作。随后，我们将结果应用于有限序列。首先，我们定义非零形式 $F\in K[x^{-1},z^{-1}]$ 的零化理想 $I_F$，这是一个齐次理想。我们通过归纳法构造生成 $I_F$ 的形式有序对 ($f_1$, $f_2$)；我们的生成元具有特殊性，即 $z$ 不整除 $f_1$ 的首项 grlex 单项式，但 $z$ 整除 $f_2$，且它们的总次数之和恒为 $2-|F|$，其中 $|F|$ 为 $F$ 的总次数。我们证明 $f_1, f_2$ 是 $I_F$ 的极大正则序列，因此 $I_F$ 的高度为 2。相应算法的复杂度约为 $|F|^2/2$。通过累加构造过程中的中间形式所得的行向量，在不增加除存储外的额外计算成本的情况下，给出了 $I_F$ 的极小 grlex Gr"obner 基，并据此确定 $\dim_K (K[x,z] /I_F)$。我们证明该形式向量要么是既约的，要么 $f_1$ 的某个单项式可被 $f_2$ 约化。这使得我们能够从算法的向量扩展中高效地构造 $I_F$ 的唯一既约 Gr"obner 基。随后，我们将其特化为有限序列的逆形式，获得了其零化理想的生成形式及相应算法，该算法不使用 Massey 算法中最后的“长度变化”步骤。我们利用 $K[x,z]^5$ 中的 Syzygy 计算了两个零化理想的交集，改进了 Althaler 和 D"ur 的结果。最后，去齐次化诱导了从 ($f_1$, $f_2$) 到 (极小多项式，辅助多项式) 的一一对应，后者是作者变种的 Berlekamp-Massey 算法的输出。因此，我们也可以通过相应的序列算法求解 LFSR 综合问题。