关于 PCR3Body 问题扰动函数的解析性质

我们对 PCR3Body 问题扰动函数的傅里叶系数提供了一种新的 Hansen 系数展开形式。这为该系数在 KAM 理论适用区域（即偏心率和半长轴较小的值，例如见 \cite{Celletti-Chierchia}）的准渐近公式提供了精确的表达式。此外，在上述区域，我们研究了关于互素模式 $(m,k) \in \Z^2$ 的傅里叶系数的零点问题，以及关于模式 $(m,k)$、$(2m,2k)$ 和 $(m,k)$、$(2m,2k)$、$(3m,3k)$ 的系数之间的公共零点问题。由于采用了之前的展开，本数值分析可达到偏心率和半长轴的 60 次方幂。这是将 \cite{Singular KAM, BBCZ} 应用于 PCR3Body 问题的第一步，这将意味着在相空间中所谓“非环面”集合的测度从由标准 KAM 理论暗示的 $O(1-\sqrt{\e})$ 降低到 $O(1-\e |\log\e|^c)$（其中 $c>0$）。