关于对称矩阵的几乎主子式

引入了一个 $n\times n$ 对称矩阵的几乎主秩特征序列（apr-序列），其定义为字符串 $a_1 a_2 \cdots a_{n-1}$，其中 $a_k$ 为 $\tt A$、$\tt S$ 或 $\tt N$，分别对应于其所有、部分但非全部、或没有任何 $k$ 阶几乎主子式非零。与文献中其他主秩特征序列不同，矩阵的 apr-序列不依赖于主子式。对称矩阵 $B$ 的几乎主秩记为 ${\rm aprank}(B)$，定义为 $B$ 的最大非奇异几乎主子矩阵的大小。给出了不含 $\tt A$ 且可实现为域 $\mathbb{F}$ 上对称矩阵的 apr-序列的完整刻画。给出了一个序列成为域 $\mathbb{F}$ 上对称矩阵的 apr-序列的必要条件。证明了若 $B \in \mathbb{F}^{n\times n}$ 为对称且非对角矩阵，则 ${\rm rank}(B)-1 \leq {\rm aprank}(B) \leq {\rm rank}(B)$，且两个界均为紧的。此外，证明了若 $B$ 为对称、非对角且奇异，且不含零行，则 ${\rm rank}(B) = {\rm aprank}(B)$。