符号增强主秩特征序列

$n \times n$ Hermitian 矩阵的符号增强主秩特征序列（sepr-sequence）是序列 $t_1t_2 \cdots t_n$，其中 $t_k$ 根据以下标准取值为 $\tt A^*$、$\tt A^+$、$\tt A^-$、$\tt N$、$\tt S^*$、$\tt S^+$ 或 $\tt S^-$：如果 $B$ 同时具有正和负的 $k$ 阶主子式，且每个 $k$ 阶主子式均非零，则 $t_k = \tt A^*$。如果每个 $k$ 阶主子式均为正（或负），则 $t_k = \tt A^+$（或 $t_k = \tt A^-$）。如果每个 $k$ 阶主子式均为零，则 $t_k = \tt N$。如果 $B$ 同时具有正、负和零的 $k$ 阶主子式，则 $t_k = \tt S^*$。如果 $B$ 同时具有零和非零的 $k$ 阶主子式，且每个非零的 $k$ 阶主子式均为正（或负），则 $t_k = \tt S^+$（或 $t_k = \tt S^-$）。此类序列比文献中的 $({\tt A,N,S})$ epr-sequence 提供了更多信息，后者中第 $k$ 项根据矩阵的 $k$ 阶主子式是否全部非零、全部为零或部分（但非全部）非零而取值为 $\tt A$、$\tt N$ 或 $\tt S$。本文表明各种 sepr-sequence 是 Hermitian 矩阵无法实现的。特别地，通过应用 Muir 可扩子式定律，证明了诸如 $\tt A^*N$ 和 $\tt NA^*$ 的子序列在 Hermitian 矩阵的 sepr-sequence 中是被禁止的。对于阶数 $n=1,2,3$ 的 Hermitian 矩阵，对所有可实现的 sepr-sequence 进行了分类。对于实对称矩阵，建立了对其底层 epr-sequence 包含 $\tt ANA$ 作为非终端子序列的可实现 sepr-sequence 的完整刻画。