任意次数的 t-Hermitian 形式、其谱结构与正定性

我们引入任意次数 $k$ 的 t-Hermitian 形式，这是对经典次数 $k$ Hermitian 形式的一种自然扩展，通过张量变换律与第三阶张量的 $t$-product 的综合实现。我们证明，次数 $k$ 的 t-Hermitian 形式唯一对应于次数 $2k+1$ 的 Hermitian 张量，这些张量作为配备以 $t$-product/$t$-Einstein product 的 Hermitian 张量 $^*$-代数中的规范代表。通过离散傅里叶变换，其对应的 t-Hermitian 形式分解为经典次数 $k$ Hermitian 形式的集合。这种分解产生一种普遍提升属性，使得任意次数 $k$ Hermitian 形式的集合可被视为单个保持基本性质（如 Hermitian 正定性）的结构对象。对于一类我们称为交换元 t-Hermitian 形式的 t-Hermitian 形式，我们建立了谱理论，扩展了对 Hermitian 张量的经典谱特征。特别是，我们将 Hermitian 正定性与两种不同类别的特征值联系起来：每个前插片的张量特征值以及经展开到矩阵后的每个片的矩阵特征值。事实上，我们证明了张量特征值刻画 Hermitian 正定性；此外，矩阵特征值的正性意味着 Hermitian 正定性，但反向在一般情况下并不成立。正是由于有了这些结果，为结构化的高阶 Hermitian 形式之间的相互作用提供了统一框架，为进一步研究，尤其是关于其内在正定性谱层级的后果奠定了基础。