关于严格 Whitney 弧与 $t$-拟自相似弧

如果 $\mathbb{R}^N$ 的连通紧子集 $E$ 上存在实值 $C^1$ 函数 $f$，满足 $\nabla f|_E\equiv 0$ 且 $f$ 在 $E$ 的任何非空相对开子集上都不是常数，则称 $E$ 为严格 Whitney 集。我们证明，$\mathbb{R}^N$ 中 Hausdorff 维数 $s>1$ 的每个自相似弧都是临界性为 $s$ 的严格 Whitney 集。我们还研究了一种特殊的自相似弧，称之为“正则”自相似弧。我们获得了正则自相似弧 $\Lambda$ 成为 $t$-拟弧以及 $\Lambda$ 上的 Hausdorff 测度函数成为严格 Whitney 函数的充分必要条件。我们证明，如果正则自相似弧具有“最小拐角角度”$\theta_{\min}>0$，则它是 1-拟弧，从而其 Hausdorff 测度函数是严格 Whitney 函数。我们提供了一个具有各种特征的正则自相似弧的单参数族示例。对于参数 $\tau$ 的某个值，该自相似弧的 Hausdorff 测度函数是该弧上的严格 Whitney 函数，因此该自相似弧是 $s$-拟弧，其中 $s$ 是该弧的 Hausdorff 维数。对于每个 $t_0\ge 1$，存在一个 $\tau$ 的值，使得相应的自相似弧对于每个 $t>t_0$ 都是 $t$-拟弧，但它不是 $t_0$-拟弧。对于每个 $t_0>1$，存在一个 $\tau$ 的值，使得相应的自相似弧是 $t_0$-拟弧，但对于任何 $t\in [1, t_0)$ 它都不是 $t$-拟弧。