关于牛顿容量的若干等周不等式

在 $\R^d,\,d\ge 3$ 中，根据紧集 $K$ 的 $r$-平行邻域的周长给出了其牛顿容量的上界。对于 $\R^d,\,d\ge 3$ 中具有 $C^2$ 边界的紧凸集，其牛顿容量由上界 $(d-2)M(K)$ 所界定，其中 $M(K)>0$ 为 $K$ 边界上平均曲率的积分，当 $K$ 为球时取等号。对于 $\R^d,\,d\ge 3$ 中具有非空内部的紧凸集，其牛顿容量由上界 $\frac{(d-2)P(K)^2}{d|K|}$ 所界定，当 $K$ 为球时取等号。此处 $P(K)$ 为 $K$ 的周长，$|K|$ 为其测度。还给出了后一不等式基于 Fraenkel 不对称性的定量改进。对于 $\R^d,\,d\ge 5$ 中半径为 $\varepsilon$、时长为 $t$ 的 Wiener sausage 的期望牛顿容量，给出了一个上界。