关于容量与扭转刚度

我们研究形状泛函的极值性质，这些泛函是Newton容量$\cp(\overline{\Om})$与扭转刚度$T(\Om)$的幂次的乘积，其中$\Om\subset \R^d$为具有紧闭包$\overline{\Om}$的开集，且给定Lebesgue测度。我们证明：若$\Om$为凸集，则$\cp(\overline{\Om})T^q(\Om)$（i）有上界当且仅当$q\ge 1$，且（ii）有下界且远离$0$当且仅当$q\le \frac{d-2}{2(d-1)}$。此外，当$q>1$或$d=3$且$q=1$时，该乘积存在凸最大化元；当$q< \frac{d-2}{2(d-1)}$时存在凸最小化元。若$q\le 0$，则该乘积在所有有界集类中由测度为$1$的球最小化。