Ailon-Rudnick定理的若干推广

本文给出了Ailon-Rudnick定理的一些推广，该定理指出若$f,g\in{\mathbb C}[T]$，则对所有$n,m\ge 1$，$\gcd(f^n-1,g^m-1)$有界。更确切地说，利用曲线上挠点个数的一个一致界以及曲线与余维数至少为$2$的代数子群相交的结果，我们给出了单变量情形下的两个此类推广。我们还基于Hilbert不可约性定理以及Granville和Rudnick关于超曲面上挠点的一个结果，给出了Ailon-Rudnick定理的两个多变量类比。