某些临界黎曼度量与 Thorpe 类型条件

我们研究黎曼 n 手测量素 compact 的高阶曲率函数的临界度量。对于整数 k，满足 2 ≤ 2k ≤ n，记 R^k 为黎曼曲率张量的 k 次外积。我们研究黎曼函数\n$$H_{2k}(g)=\int_M \operatorname{tr}(R^k)\,\mathrm{dvol}_g\quad\text{和}\quad G_{2k}(g)=\int_M \|R^k\|^2\,\mathrm{dvol}_g,$$ 其中，H_{2k}(g) 和 G_{2k}(g) 分别是 Hilbert-Einstein 泛函和总平方范数曲率的推广，分别对应 k=1。利用双形式的形式，我们发展出一套系统的变分框架，为这些函数给出紧凑的第一变分公式。两个关键引理简化了变分计算。中心技术工具是将经典 Lanczos 身份推广到任意偶次的对称双形式，提供了张量 \cc^{2k-1}(R^k \circ R^k) 和 \cc^{4k-1}(R^{2k}) 之间的显式代数关系。作为主要几何应用，我们引入 (2k)-Thorpe 和 (2k)-anti-Thorpe 度量，定义为在偶数维 n=2r 中的 g^{r-2k}R^k 的自旋度与反自旋度条件。在临界维数 n=4k 中，这些度量是 G_{2k} 的绝对最小化者，其最小值由欧几里得特征数决定。对于 n>4k，它们满足调和属性，导致在适当的曲率正性假设下出现刚性结果。我们进一步建立了变分临界性条件之间的等价性。对于 hyper-(2k)-Einstein 度量，由 \cc R^k=\lambda g^{2k-1} 给出，对于 G_{2k} 临界等价于 (4k)-Einstein 和弱 (2k)-Einstein。 在局部 conformally 平坦情况下，我们分类了所有 4-Thorpe 度量，显示它们要么是空间形式，要么是黎曼积 \mathbb{S}^r(c) \times \mathbb{H}^r(-c)。