关于字映射的奇点性质及其在概率 Waring 型问题中的应用

我们研究半单代数群和李代数上字映射的奇点性质，推广了 Aizenbud-Avni 在交换子映射情形下的工作。给定自由李代数 $\mathcal{L}_{r}$ 中的一个字 $w$，它对每个半单李代数 $\mathfrak{g}$ 诱导出一个字映射 $\varphi_{w}:\mathfrak{g}^{r}\rightarrow\mathfrak{g}$。给定两个字 $w_{1}\in\mathcal{L}_{r_{1}}$ 和 $w_{2}\in\mathcal{L}_{r_{2}}$，我们定义并研究相应字映射的卷积 $\varphi_{w_{1}}*\varphi_{w_{2}}:=\varphi_{w_{1}}+\varphi_{w_{2}}:\mathfrak{g}^{r_{1}+r_{2}}\rightarrow\mathfrak{g}$。我们证明对任意次数为 $d$ 的字 $w\in\mathcal{L}_{r}$，以及任意满足 $\varphi_{w}(\mathfrak{g}^{r})\neq0$ 的单李代数 $\mathfrak{g}$，在对 $\varphi_{w}$ 取 $O(d^{4})$ 次自卷积后，得到一个具有有理奇点约化纤维的平坦态射（缩写为 (FRS) 态射）。我们推得，对任意半单代数群 $G$，长度为 $\ell$ 的群字映射在取 $O(\ell^{4})$ 次自卷积后于 $(e,\ldots,e)\in G^{r}$ 处变为 (FRS)。我们进一步界定了李代数字映射的纤维的 jet 概型的维数，以及当 $G=\mathrm{SL}_{n}$ 时群字映射纤维的维数。对于交换子字 $\nu=[X,Y]$，我们证明对任意半单李代数 $\varphi_{\nu}^{*4}$ 是 (FRS) 的，从而得到在紧 $p$-adic 和算术群的表示增长中的应用。我们所考虑的奇点性质，如 (FRS) 性质，与形如 $\mathbb{Z}/p^{k}\mathbb{Z}$ 的有限环上纤维的点计数密切相关。这使我们可以将它们与有限和紧 $p$-adic 群上某些自然随机游动族的性质联系起来。我们探讨了这些联系，并给出了在 $p$-adic 概率 Waring 型问题中的应用。