代数态射卷积的奇点性质

设 $K$ 为特征零的域，$X$ 和 $Y$ 为光滑 $K$-簇，并设 $V$ 为有限维 $K$-向量空间。对于两个代数态射 $\varphi:X\rightarrow V$ 和 $\psi:Y\rightarrow V$，我们定义卷积运算 $\varphi*\psi:X\times Y\to V$，由 $\varphi*\psi(x,y)=\varphi(x)+\psi(y)$ 给出。我们随后研究所得态射的奇点性质，并表明正如分析中的卷积情形，它具有改善的光滑性性质。具体而言，我们证明对任意态射 $\varphi:X\rightarrow V$，若其在 $X$ 的每个不可约分支上的限制均为支配态射，则存在 $N\in\mathbb{N}$ 使得对任意 $n>N$，第 $n$ 次卷积幂 $\varphi^{n}:=\varphi*\dots*\varphi$ 是一个具有有理奇点约化几何纤维的平坦态射（该性质缩写为 (FRS)）。由 Aizenbud 和 Avni 的定理，当 $K=\mathbb{Q}$ 时，这等价于当遍历 $p$ 和 $k$ 时 $\varphi^{n}$ 的 $\mathbb{Z}/p^{k}\mathbb{Z}$-纤维大小的良好渐近行为。更一般地，我们证明给定一族复杂度为 $D\in\mathbb{N}$ 的态射 $\{\varphi_{i}:X_{i}\rightarrow V\}$（即定义 $X_{i}$ 和 $\varphi_{i}$ 的变量个数与多项式次数均以 $D$ 为界），存在 $N(D)\in\mathbb{N}$ 使得对任意 $n>N(D)$，态射 $\varphi_{1}*\dots*\varphi_{n}$ 是 (FRS)。