任意特征标下奇点解消的新思路

设 $k$ 为任意特征标下的任意代数闭域，$R$ 为任意包含 $k$ 作为子环的正则局部环，且 $R$ 的剩余域作为 $k$-代数同构于 $k$，$\dim R\geq 1$；设 $P$ 为 $R$ 的任意参数系，$z\in P$。考虑任意非零元 $\phi\in R$。在主定理中，我们假设若干依赖于 $P$、$z$ 和牛顿多面体的条件。在这些假设下，$\phi$ 在 $P$ 上的牛顿多面体 $\Gamma_+(P,\phi)$ 的正则扇 $\Sigma$ 具有简单结构，我们可以构造 $\Sigma$ 的一个特殊正则细分 $\Sigma^*$，称为向上细分，其从维数等于 $\dim R$ 的正则锥开始，重复以二维正则锥为中心进行星形细分。设 $X$ 和 $\sigma:X\rightarrow\Spec(R)$ 分别表示 $\Spec(R)$ 上的环面簇和与 $\Sigma^*$ 关联的环面态射。考虑任意闭点 $a\in X$，使得 $\sigma(a)$ 是 $\Spec(R)$ 的唯一闭点，且 $\sigma$ 诱导的局部 $k$-代数态射 $\sigma^*: R \rightarrow\mathcal{O}_{X,a}$。我们证明，$\sigma^*(\phi)\in \mathcal{O}_{X,a}$ 的数值不变量（用于衡量奇点不良程度）严格小于 $\phi\in R$ 的同一不变量，且 $\phi$ 的奇点通过 $\sigma$ 得到严格改善。我们注意到，这一结果开辟了任意特征标下奇点解消理论的道路。我们添加若干辅助定理以搭建桥梁，并表明主定理的假设并不苛刻。通过这些结果，我们可以证明，在与 $\phi$ 的奇点解消相关的双人数学博弈中，玩家 A 总能在有限步后获胜。由此得到“任意特征标和任意维数下的局部一致化定理”。