Toric Varieties 的局部平凡变形

我们从组合角度研究 toric variety 的局部平凡变形。对于任何一个 fan $\Sigma$，我们通过考虑某些单纯复形上的 Čech 零协调带构造变形函数组 $\mathrm{Def}_\Sigma$。我们证明，在适当假设下，$\mathrm{Def}_\Sigma$ 与与 $\Sigma$ 关联的 toric variety $X_\Sigma$ 的局部平凡变形函数组 $\mathrm{Def}'_{X_\Sigma}$ 同构。特别地，对于任何在 2 维平凡且在 3 维 $\mathbb{Q}$-factorial 的完整 toric variety $X$，存在一个 fan $\Sigma$，使得 $\mathrm{Def}_\Sigma$ 与 $X$ 的变形函数组 $\mathrm{Def}_X$ 同构。我们将这些结果用于给出光滑完整 toric variety 具有无受阻变形的新准则，并计算更高阶受阻公式，推广了 Ilten 和 Turo 对 cup product 的公式。我们使用函数组 $\mathrm{Def}_\Sigma$ 对若干 toric variety 的变形空间进行显式计算，并提供展示此前未观察到的现象的例子。特别是，我们准确分类了作为迭代 $\mathbb{P}^1$-bundle 的 toric 三维流形其变形空间是否无受阻。