友好图和书形图支配多项式的根

本研究考察友好图和书形图的支配多项式，聚焦于这些族群的未解问题[Alikhani、Brown 和 Jahari 对友好图支配多项式的研究，Filomat \textbf{30}(1) (2016) 169--178]。对于友好图 $F_n$（其中 $n$ 为偶数），我们证明多项式 $D(F_n,x)$恰好具有三个实数根：$0$ 以及两个简根，分别位于区间 $(-2,-1)$ 和 $(-1,0)$ 中。我们进一步证明，这两个非零根具有单调变化特性，并分别收敛于 $-1-\frac{1}{\sqrt2}$ 和 $-1+\frac{1}{\sqrt2}$。我们获得了针对 $D(F_n,x)$任意复数根的定量近似 $(|z|-1)^2\log |z|\le n$，从而得到显式界 $|z|\le 1+\sqrt{\tfrac{n}{\log 2}}$。对于书形图 $B_n$，我们确定了支配根的完整极限集合，并建立了关于实数根存在性的统计结果。我们提供了对整数根问题的部分答案，通过证明友好图和书形图不存在非零整数支配根，而对于冠状族群，唯一的非零整数根为 $-2$。