关于 R-树、同伦与覆盖映射

映射 $p:E\to X$ 具有\emph{唯一路径提升}性质，如果 $X$ 中的每条路径，在选定一个初始点后，都能唯一地提升为 $E$ 中的一条路径。我们证明，如果一个群 $G$ 作用在一个 $\mathbb R$-树 $T$ 上，使得商映射 $p: T\to T/G$ 具有唯一路径提升性质，那么商空间 $T/G$ 不包含圆盘。作为一个推论，我们证明每个具有唯一路径提升性质的流形映射都是覆盖映射。该证明需要对路径中的一维回溯进行研究。我们展示了一个令人惊讶且反直觉的结果：由路径相对于端点的同伦所给出的等价关系，是由插入和删除一维回溯生成的。