champ 的初等拓扑

概括而言,本文是 Giraud 著作的同伦补充,尽管在若干方面有所不同。首先,给出了映射到拓扑 champ(亦称 stack)的表示定理,从而得到一个极其便利的全图册,即道路空间,这使得可以直接引入初等教材中熟知的同伦群与覆叠空间的定义。其次,通过覆叠 champ 的 2-Galois 理论,它提供了 Giraud 上同调的伴随,即同伦 2-群 $\Pi_2$。在道路连通性充分的情况下,这通过构造 1-覆叠时所采用的相同构造,即用广群对道路空间取商来完成。在一般情形下,因此也包括适用于代数几何的 pro-finite 理论,其发展平行于 SGA1 的公理化 Galois 理论。所得的同伦 2-型的显式描述可用于证明代数几何中的定理:将 SGA2 的 Lefschetz 定理(在局部 Noetherian 基上)最优推广到 $\Pi_2$(通过一种截然不同的方法,该方法甚至改进了原始情形),以及给出光滑基变换定理从上同调推广到同调的一个反例。这些有限目标得以实现,尽管可以说以模糊更高范畴结构为代价,而无需离开广群的 2-范畴。