关于伪平方和伪幂

由 Kraitchik 和 Lehmer 引入的 $x$-伪平方是一个满足 $n\equiv1\pmod 8$ 的正整数，它对每个奇素数 $p\le x$ 都是二次剩余，但不是平方数。我们利用特征和的界限证明了伪平方在相当短的区间内是均匀分布的。底为 $g$ 的 $x$-伪幂是一个正整数，它不是 $g$ 的幂，但对于所有素数 $p\le x$，它在模 $p$ 下是 $g$ 的幂。Bach, Lukes, Shallit 和 Williams 猜想此类最小数至多为 $\exp(a_g x/\log x)$（对于适当的常数 $a_g$）。在 Dedekind zeta 函数的 Riemann 假设条件下，我们证明了 $\exp(a_g x\log\log x/\log x)$ 的界限，从而改进了 Konyagin 和本文作者最近的一个条件指数界限。我们还给出了伪幂的 GRH 条件均匀分布结果，该类比于我们对伪平方的无条件结果。