关于双曲李代数的 Poincaré 多项式

我们拥有获取有限型和仿射型 Kac-Moody 李代数 Poincaré 多项式的通用框架。然而，除了仿射型之外，知之甚少，尽管我们有一个可应用于有限和无限情形的构造性定理。可以确切地说，该定理以乘积形式 P(G)=P(g) R 给出 Kac-Moody 李代数 G 的 Poincaré 多项式，其中 g 是精心选择的 G 的子代数，R 是一个有理函数。虽然并非定理所述的方式，但至少对于本工作中考虑的 48 个双曲李代数，我们展示了另一种选择子代数的方法，使得 R 表现为一个有限多项式的逆。显然，有理函数或其逆不能表示为有限多项式的形式。我们的方法基于数值计算，并给出了全部 48 个双曲李代数的结果。然而，在一个说明性示例中，我们将展示上述定理如何给出有理函数，而在该情况下我们发现了一个该定理无法获得的有限多项式。