仿射李代数的置换权重与模庞加莱多项式

Kac-Moody李代数的庞加莱多项式可以通过对其Weyl向量ρ的Weyl轨道W(ρ)进行分类得到。对于仿射李代数，一个显著的事实是，尽管W(ρ)总共有无限多个元素，但在每个深度层次上其元素数量是有限的。这使我们能够将W(ρ)视为一个由其元素深度分级的流形，从而定义了一种新型的庞加莱多项式。我们给出了所有仿射Kac-Moody李代数（无论非扭或扭）的这些多项式。然而，显著的事实是，与经典定义的多项式相反，这些新型庞加莱多项式具有模性质，即它们都以η-商的形式表达。当回顾不可约特征的Weyl-Kac特征公式时，自然会想到这种模性质可能与Kac-Peterson定理直接相关，该定理指出仿射特征具有模性质。另一个需要强调的点是这些模庞加莱多项式与我们之前为有限李代数和仿射李代数引入的置换权重之间的关系。借助置换权重，我们证明了仿射李代数的Weyl轨道可以分解为其水平李代数的Weyl轨道的直和，并且这种新型庞加莱多项式恰好计算了每个权重深度层次上的这些置换权重。