关于一般类型的变量的普遍canonical boundedness

我们提出了陈和江定理的新证明：对于任意整数 $n>1$，存在常数 $K_n>0$，使得每个光滑射影 $n$-fold $X$ 若满足 $\operatorname{vol}(X)>K_n$，则要么其稳定双canonical映射要么存在一个 M$^c$Kernan 投射。这修正了原始证明中的漏洞。作为本方法的直接应用，我们改进了 Lacini 之前的 boundedness 定理，证明对于任意整数 $r>1$ 和 $n\geq 1$，$r$-canonical 映射的 $n$-folds 的一般类型的 fibers 具有双canonical boundedness。这给出了对陈和江 2014 年提出问题的肯定回答。