关于多元平稳高斯过程的 Piterbarg 最大离散化定理

设 $\{X(t), t\geq0\}$ 为零均值、单位方差的平稳高斯过程。Piterbarg (2004) 推导出的一个深刻结果（我们称之为 Piterbarg 最大离散化定理）给出了连续时间最大值 $M(T)=\max_{t\in [0,T]} X(t)$ 与离散最大值 $M^{\delta}(T)=\max_{t\in \mathfrak{R}(\delta)}X(t)$ 的联合渐近行为（$T\to \infty$），其中 $\mathfrak{R}(\delta) \subset [0,T]$ 是间距为 $\delta=\delta(T)$ 的均匀点网格。在对相关函数施加某些渐近限制的条件下，Piterbarg 最大离散化定理表明，对于极限结果而言，知晓 $\delta(T)$ 当 $T\to \infty$ 时趋于 0 的速度至关重要。本文推导了针对多元平稳高斯过程的上述定理。